Státnice z elektroniky

<< předchozí     následující >>

Kapitola 17
LTIS

Je-li x(t) vstupní signál a y(t) výstupní signál, je výstupní signál určitou transformací vstupního signálu, takže y(t) = T{ x(t)}.

Časová invariantnost znamená, že systém odpovídá na určitý vstupní signál x(t) stále stejným výstupním signálem y(t). Pokud budíme vstup systému signálem x(t) posunutým v čase, x(t−t0), potom systém odpoví odezvou y(t) stejně posunutou v čase, y(t−t0).

Lineární systém je takový, který na k-násobek vstupního signálu k x(t), odpovídá k-násobkem výstupního signálu k y(t) a na sumu vstupních signálů i ki xi(t) odpovídá sumou odezev i ki yi(t).

17.1  Odezva LTIS na některé speciální signály

17.1.1  Odezva na Dirakův impulz

Přivedeme-li na vstup systému Dirakův impulz, systém „odpoví“ průběhem y(t), který označujeme jako h(t). Funkci h(t) nazýváme impulzová (impulzní) odezva systému.

17.1.2  Odezva na jednotkový skok

Systém „odpoví“, na tento vstupní signál, časovým průběhem y(t), který v tomto případě označujeme a(t)

17.1.3  Odezva na vstupní sinusový signál

Systém odpoví (po ustálení po dostatečně dlouhé době) sinusovým signálem o stejném kmitočtu, jako má vstupní signál. Výstupní sinusovka může mít jinou amplitudu a vůči vstupní sinusovce může být fázově posunuta. Matematicky zapsáno x(t) = sin (ω0 t), y(t) = A sin(ω0 t + φ).

17.2  Vztahy mezi vstupním a výstupním signálem

Lineární časově invariantní systém, na jehož vstup působí signál x(t), který má impulzní odezvu h(t), lze popsat jak v časové, tak v kmitočtové oblasti vztahy:
y(t) = h(t) * x(t)konvoluce funkcí h(t) a x(t)
Y(ω) = H(ω) · X(ω)součin funkcí H(ω) a X(ω),

X(ω) = F{x(t)}x(t) = F−1{X(ω)}
H(ω) = F{h(t)}h(t) = F−1{H(ω)}
Y(ω) = F{y(t)}y(t) = F−1{Y(ω)}

h(t) je odezva systému na jednotkový impulz přivedený na vstup systému v čase t = 0. Má-li být sytém kauzální, musí h(t) = 0 pro t < 0.

Pro výpočet odezvy lineárního časově invariantního systému (LTIS) na vstupní signál x(t) můžeme použít následující vztahy, které vyplývají z vlastností konvoluce a Dirakovy funkce (a'(t) = h(t))
y(t) = t

−∞
x(τ) h(t−τ) dτ
y(t) = 0

x(t−τ) h(τ) dτ
y(t) = t

−∞
x'(τ) a(t−τ) dτ
y(t) = 0

x'(t−τ) a(τ) dτ

Přenos H(ω) lze určit pomocí zkušebního kosinusového signálu. Budeme-li přivádět na vstup lineárního časově invariantního systému kosinusovku o amplitudě A, proto změřením poměru amplitud výstupní a vstupní kosinusovky najdeme |H(ω)| a změřením fázového posuvu výstupní kosinusovky vůči vstupní najdeme arg H(ω) = φ(ω).

17.3  DLTIS

V číslicových systémech namísto s analogovými signály pracujeme s číselnými posloupnostmi. Vstupní signál je představován číselnou posloupností {x (n T), n náleží Z}, výstupní signál (odezva) číselnou posloupností {y (n T), n náleží Z}. Zápis x (n T) připomíná, že toto číslo může představovat velikost signálu v čase n T, kde T je perioda vzorků signálu. Pokud budeme uvažovat (vstupní) signál jen jako číselnou posloupnost bez bližšího vztahu k času, můžeme vzorky signálu zapisovat jen s indexem n, x(n). Pro mnohé případy použití číslicového zpracování je časová složka významná (např. pro filtraci signálu), proto se budeme přidržovat zápisu x (n T).

Diskrétní lineární časově invariantní systém převádí vstupní signál (posloupnost) {x (n t)} na výstupní posloupnost (signál) {y (n t)}, takže {y (n t)} = T{x (n T)}. Impulzní odezva číslicového systému je jeho odezva na jediný vstupní vzorek aplikovaný v čase t = 0. Vstupní signál (posloupnost) je {x (n T) = 1 pro n = 0, x (n T) = 0 pro n ≠ 0}. Při určování impulzní odezvy číslicového systému předpokládáme, že před aplikací jednotkového impulzu je systém ustálen.

Pro lineární diskrétní časově invariantní systémy platí zákon superpozice – vstupní signál rozložíme na vhodné části, nejdeme odezvy na jednotlivé části a odezvy složíme. Dostaneme tak odezvu na vstupní signál. Vstupní signál {x (n T)} můžeme rozložit na soustavu jednotlivých vzorků, ty považujeme za impulzy velikosti x (i T) umístěné v okamžicích i · T. Odezva na takové impulzy je x (i T){h (n T − i T)}. Celá výstupní posloupnost jako odezva na vstupní signál {x (n T)} je pak sumou všech odezev, odezev pro všechna i.

{ y (n T)} = +∞

i = −∞ 
x (i T) {h (n T − i T)},
odkud plyne
y (n T) = +∞

i = −∞ 
x (i T) h (n T − i T)
(pro kauzální systém je h (n T − i T) = 0 pro n T − i T < 0 a proto horní mez proměnné i je n).